Một chiếc bánh có dạng hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $N,I$ lần lượt là trung điểm của cạnh $SC,AB$. Lấy điểm $M$ đối xứng với $B$ qua $A$.

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Chọn hệ vectơ: A=0, B=b, D=d, C=b+d, S=s; khi đó M=-b, O=(b+d)/2, N=(s+b+d)/2.
a) (SAD) chứa S và AD; (SCB) chứa S và BC, mà AD∥BC nên hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng qua S song song với AD (và BC), không phải SO. Sai.
b) NO có vectơ chỉ phương N−O=s/2 ∥ SA. K=MO∩AD: giải −b+t(3b+d)/2=λd cho t=2/3, λ=1/3, tức K=d/3 thuộc AD. Kiểm tra K∈(MON): d/3=(1/3)(−b)+(2/3)(b+d)/2+0·N nên K thuộc (MON); mặt (MON) chứa vectơ s vì (N−M)−(O−M)=s/2. Vậy đường thẳng d qua K song song NO (đồng thời song song SA) nằm trong cả hai mặt phẳng, là giao tuyến. Đúng.
c) Vì d⊂(SAD) và G=d∩MN nên G∈(SAD)∩MN, và MN không nằm trong (SAD), do đó G chính là giao điểm của MN với (SAD). Đúng.
d) Điểm trên MN: M+u(N−M)=−b+u(s+3b+d)/2. Thuộc (SAD) (dạng λd+μs) khi hệ số của b bằng 0: −1+3u/2=0, u=2/3. Suy ra GM/GN=u/(1−u)=2. Mặt khác M đối xứng B qua A nên AM=AB, I trung điểm AB nên AI=AB/2, do đó AM/AI=2. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AD∥BC nên (SAD)∩(SCB) là đường thẳng qua S song song với AD, không phải SO.
b) (AI giải đề cho tôi)
NO∥SA (vectơ N−O=s/2). K=MO∩AD với K=d/3 thuộc cả (MON) và (SAD); đường qua K song song NO nằm trong cả hai mặt phẳng nên là giao tuyến d.
c) (AI giải đề cho tôi)
d⊂(SAD), G=d∩MN nên G∈(SAD)∩MN và MN⊄(SAD), vậy G là giao điểm của MN với (SAD).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tham số u=2/3 tại G trên MN nên GM/GN=2; đồng thời AM=AB, AI=AB/2 nên AM/AI=2.