Một đường cáp điện được kéo từ một trạm điện A ở một bờ sông rộng 1 km đến một nhà máy B ở bờ bên kia của sông, nhà máy cách trạm điện 4km tính xuôi theo bờ sông. Đường cáp này được mô hình hóa thành đường gấp khúc APB như hình vẽ, trong đó đoạn PB đặt trên bờ sông. Biết rằng chi phí để kéo 1km cáp dưới nước là 5000 USD và chi phí kéo 1km cáp trên bờ là 3000 USD. Hỏi để tiết kiệm chi phí nhất thì vị trí P cách phải B một đoạn bao nhiêu km? (Kết quả làm tròn 2 con số phần thập phân)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là hình chiếu của A trên bờ có nhà máy B, AH = 1 km, HB = 4 km. Gọi P nằm trên đoạn HB, đặt PB = x (0 ≤ x ≤ 4), khi đó PH = 4 − x và AP = √(1 + (4 − x)²). Chi phí: C(x) = 3000x + 5000√(1 + (4 − x)²). C'(x) = 3000 − 5000(4 − x)/√(1 + (4 − x)²). Cho C'(x) = 0: (4 − x)/√(1 + (4 − x)²) = 3/5 ⇒ (4 − x)² = (9/25)(1 + (4 − x)²) ⇒ (16/25)(4 − x)² = 9/25 ⇒ 4 − x = 3/4 ⇒ x = 13/4 = 3,25. Vì C'(x) < 0 khi x < 3,25 và C'(x) > 0 khi x > 3,25 nên x = 3,25 cho chi phí nhỏ nhất: C(3,25) = 9750 + 5000·(5/4) = 16000 USD, nhỏ hơn C(0) = 5000√17 ≈ 20615 USD và C(4) = 12000 USD. Vậy P cách B một đoạn 3,25 km.