Một hệ thống điều khiển tự động đang rót chất lỏng vào bồn chứa. Thể tích $V$ (lít) của chất lỏng trong bồn chứa theo thời gian rót $t$ (phút) được mô tả bởi công thức: $V(t)=(t^2+10t+100)\cdot e^{-0,02t}+50$ với $0\le t\le 100$. Gọi $V^{\prime }(t)$ là tốc độ rót chất lỏng vào bồn chứa tại thời điểm $t$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $V(t)=(t^2+10t+100)e^{-0,02t}+50$, $0\le t\le 100$.

a) $V(0)=100\cdot e^0+50=150$ lít $\ne 50$ lít → khẳng định SAI.

b) $V^{\prime }(t)=(2t+10)e^{-0,02t}-0,02(t^2+10t+100)e^{-0,02t}=e^{-0,02t}(-0,02t^2+1,8t+8)$.
Xét $(V^{\prime }(t){)}^{\prime }=e^{-0,02t}(0,0004t^2-0,076t+1,64)=0\iff t^2-190t+4100=0\Rightarrow t\approx 24,82$ (nghiệm kia $\approx 165$ ngoài đoạn). Tại $t\approx 24,82$: $-0,02t^2+1,8t+8\approx 40,36$, $e^{-0,02t}\approx 0,6087$ nên $V^{\prime }\approx 24,57$ lít/phút. So với $V^{\prime }(0)=8$ và $V^{\prime }(100)=-12e^{-2}<0$ → tốc độ rót lớn nhất khoảng $24,57$ lít/phút → ĐÚNG.

c) Công thức đúng là $G(t)=V^{\prime }(t)=e^{-0,02t}(-0,02t^2+1,8t+8)$, không phải $G(t)=-0,02(2t+10)e^{-0,02t}$ → SAI.

d) $V^{\prime }(t)=0\iff t^2-90t-400=0\Rightarrow t=\frac{90+\sqrt{9700}}{2}\approx 94,24$ (nghiệm âm loại). Vì $V^{\prime }(t)>0$ trên $[0;94,24)$ và $V^{\prime }(t)<0$ trên $(94,24;100]$ nên $V$ đạt max tại $t\approx 94,24$: $V(94,24)\approx 9924\cdot e^{-1,8848}+50\approx 1507+50\approx 1557$ lít → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V(0)=100+50=150$ lít, không phải 50 lít.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V^{\prime }(t)=e^{-0,02t}(-0,02t^2+1,8t+8)$ đạt max tại $t\approx 24,82$ với giá trị $\approx 24,57$ lít/phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng: $G(t)=e^{-0,02t}(-0,02t^2+1,8t+8)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V$ đạt max tại $t\approx 94,24$ với $V\approx 1557$ lít.