Một kỹ sư thiết kế đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol và hai đoạn đường lên dốc $T_1$ và xuống dốc $T_2$ (như hình vẽ dưới đây).

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]



Đoạn lên dốc $T_1$ và đoạn xuống dốc $T_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 2 và $-3$. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $T_1$ và $T_2$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol lần lượt tại các điểm chuyển tiếp $A$ và $B$.
Giả sử gốc tọa độ đặt tại $A$, độ dài 1 đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$ là 1 mét trên thực tế; phương trình của parabol là $y=a{x}^2+bx+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Gốc tọa độ đặt tại A nên A(0;0). Tiếp tuyến tại A là T1 có hệ số góc 2, tiếp tuyến tại B là T2 có hệ số góc −3.
a) y' = 2ax + b nên y'(0) = b = 2 (không phải −2) → sai.
b) Parabol đi qua A(0;0) nên y(0) = c = 0 → đúng.
c) Với a = −1/20, b = 2: y' = −x/10 + 2. Tại B: −x_B/10 + 2 = −3 ⟹ x_B = 50, khoảng cách ngang giữa A và B là 50 m → đúng.
d) y_B = −(1/20)·50² + 2·50 = −125 + 100 = −25, chênh lệch độ cao giữa A và B là 25 m (không phải 20 m) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại A là T1 có hệ số góc 2 nên y'(0)=b=2, không phải −2.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Parabol đi qua A(0;0) nên y(0)=c=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
y' = −x/10 + 2 = −3 tại B ⟹ x_B = 50, khoảng cách ngang giữa A và B là 50 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
y_B = −(1/20)·2500 + 100 = −25 nên chênh lệch độ cao giữa A và B là 25 m, không phải 20 m.