Một người có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc, bề ngoài chúng giống hết nhau và chỉ có đúng hai chiếc mở được cửa nhà. Người đó thử ngẫu nhiên từng chìa. Xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ ba.

(AI giải đề cho tôi)
Người đó thử lần lượt từng chìa (không trả lại). Để mở được cửa ở lần thử thứ ba, hai lần đầu phải chọn chìa không mở được, lần thứ ba chọn chìa mở được. Xác suất: $P=\frac{7}{9}\cdot \frac{6}{8}\cdot \frac{2}{7}=\frac{84}{504}=\frac{1}{6}$. Kiểm tra bằng cách đếm: số cách xếp thứ tự thử 9 chìa là $9!$; cách để chìa mở được ở vị trí thứ ba: chọn 1 trong 2 chìa mở được ở vị trí 3, xếp 7 chìa không mở được vào 2 vị trí đầu và 5 vị trí sau: $2\cdot 7!\cdot 7!$... cách khác: $P=\frac{A_7^2\cdot 2}{A_9^3}=\frac{42\cdot 2}{504}=\frac{1}{6}$. Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{6}$.