Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm diện tích đáy của chiếc hộp khi thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.


Hình 1.17

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy là $x>0$, chiều cao $h>0$. Diện tích bề mặt (không nắp): $x^2+4xh=108\Rightarrow h=\frac{108-x^2}{4x}$, với $0<x<\sqrt{108}$. Thể tích: $V=x^{2}h=\frac{x(108-x^2)}{4}=27x-\frac{x^3}{4}$. Khi đó $V^{\prime }=27-\frac{3x^2}{4}$; $V^{\prime }=0\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=6$ (chọn $x>0$). Với $0<x<6$ thì $V^{\prime }>0$, với $6<x<\sqrt{108}$ thì $V^{\prime }<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=6$. Khi đó $h=\frac{108-36}{24}=3$ cm và $V=6^2\cdot 3=108$ cm³. Diện tích đáy cần tìm: $S=x^2=36{\text{cm}}^2$. Kiểm tra: bề mặt $36+4\cdot 6\cdot 3=108$ cm² đúng đề bài.