Một nhóm học sinh gồm 30 học sinh, trong đó có 15 học sinh khối 12, 10 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Có bao nhiêu cách chọn 15 học sinh từ nhóm học sinh trên sao cho
a) số học sinh mỗi khối là bằng nhau.
b) có ít nhất 5 học sinh khối 12 và có đúng 2 học sinh khối 10.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y,z$ lần lượt là số HS khối 12, 11, 10 được chọn.

a) Ba khối bằng nhau và tổng là 15 nên $x=y=z=5$ (khả thi vì $15,10,5\ge 5$). Số cách:
$$C_{15}^5\cdot C_{10}^5\cdot C_5^5=3003\cdot 252\cdot 1=756756.$$

b) Đúng 2 HS khối 10: $C_5^2=10$ cách. Còn chọn 13 HS từ 25 HS khối 12 và 11, với $k$ HS khối 12, $k\ge 5$ (điều kiện ít nhất 5 HS khối 12; khối 11 chỉ có 10 HS nên $k\ge 3$ tự thỏa, $k\le 13$):
$$\sum _{k=5}^{13}{C}_{15}^k{C}_{10}^{13-k}.$$
Từng số hạng:
- $k=5$: $3003\cdot 45=135135$
- $k=6$: $5005\cdot 120=600600$
- $k=7$: $6435\cdot 210=1351350$
- $k=8$: $6435\cdot 252=1621620$
- $k=9$: $5005\cdot 210=1051050$
- $k=10$: $3003\cdot 120=360360$
- $k=11$: $1365\cdot 45=61425$
- $k=12$: $455\cdot 10=4550$
- $k=13$: $105\cdot 1=105$

Tổng: $5186195$. Kiểm tra: tổng đủ các trường hợp $k=\mathrm{0..13}$ bằng $C_{25}^{13}=5200300$; phần bị loại ($k=\mathrm{0..4}$) là $14105$, và $5186195+14105=5200300$ ✓.

Kết hợp với $C_5^2=10$:
$$10\cdot 5186195=51861950.$$