Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :x-y=0$. Đường tròn $(C)$ có bán kính $R=\sqrt{10}$ cắt $\Delta$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=4\sqrt{2}$. Các tiếp tuyến của $(C)$ tại hai điểm $A,B$ cắt nhau tại một điểm thuộc tia $Oy$. Hãy viết phương trình của đường tròn $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I(a;b)$ là tâm $(C)$. Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :x-y=0$ là $d=\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$. Vì dây $AB=4\sqrt{2}$, $R=\sqrt{10}$ nên $d^2=R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=10-8=2\Rightarrow |a-b|=2$. Gọi $P(0;p)$, $p>0$ là giao hai tiếp tuyến tại $A,B$; khi đó $AB$ (nằm trên $\Delta$) là trục tiếp xúc (polar) của $P$ đối với $(C)$. Với $(C):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=10$, polar của $P$ là $-a(x-a)+(p-b)(y-b)=10$, tức $-ax+(p-b)y+a^2+b^2-bp-10=0$. Phương trình này phải trùng $\Delta :x-y=0$, nên $p-b=a\Rightarrow p=a+b$ và hệ số tự do bằng 0: $a^2-ab-10=0\Rightarrow a-b=\frac{10}{a}$. Kết hợp $|a-b|=2$: nếu $a-b=2$ thì $a=5,b=3$, khi đó $p=8>0$ thỏa tia $Oy$; nếu $a-b=-2$ thì $a=-5,b=-3$, $p=-8<0$ loại. Kiểm tra: $d(I,\Delta )=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, $AB=2\sqrt{10-2}=4\sqrt{2}$ ✓. Vậy $(C):(x-5{)}^2+(y-3{)}^2=10$.