Một robot khảo sát không gian hoạt động trong môi trường $3D$ có một cảm biến hình cầu, được lập trình để di chuyển sao cho cảm biến này tiếp xúc tại một điểm $Q$ trên một bức tường nghiêng là mặt phẳng có phương trình $x+y-z-3=0$ để đo đạc. Trong lúc khảo sát, cảm biến luôn phải đi qua hai điểm chuẩn đã cố định sẵn trong không gian là điểm $M(1;1;1)$ – vị trí cảm biến tại lần đo đầu tiên và điểm $N(-3;-3;-3)$ – vị trí cảm biến tại lần đo tiếp theo. Để tối ưu hoá phần mềm điều hướng, kỹ sư muốn xác định rằng: Dù cảm biến (hình cầu) có di chuyển sao cho tiếp xúc ở đâu trên bức tường, điểm tiếp xúc đó luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn cố định đó, từ đó giúp lập trình robot dò tìm tiếp điểm dễ dàng hơn trong các lần đo tiếp theo.

(AI giải đề cho tôi)
Hình cầu (I;R) đi qua M(1;1;1), N(−3;−3;−3) nên tâm I nằm trên mặt phẳng trung trực của MN: x+y+z=−3. Cầu tiếp xúc mặt phẳng (P): x+y−z−3=0 tại Q, tức I=Q+μ(1;1;−1) và R²=IQ²=3μ². Điều kiện qua M: IM²=QM²+2μ(Q−M)·(1;1;−1)+3μ², với (Q−M)·(1;1;−1)=(Qx+Qy−Qz)−1=3−1=2, nên IM²=3μ² ⟺ QM²=−4μ. Tương tự với N: (Q−N)·(1;1;−1)=3−(−3)=6, suy ra QN²=−12μ=3QM². Vậy Q thuộc giao của (P) với mặt cầu Apollonius QN²=3QM², tức x²+y²+z²−6(x+y+z)−9=0: mặt cầu tâm C(3;3;3) bán kính 6. Khoảng cách từ C đến (P): |3+3−3−3|/√3=0, nên tâm C nằm trên (P); giao là đường tròn bán kính đúng bằng bán kính mặt cầu, R=6. Kiểm tra đủ: với Q trên đường tròn, μ=−QM²/4 khi đó IM=IN=IQ, nên mọi Q trên đường tròn đều là tiếp điểm của một cầu thỏa mãn. Vậy bán kính đường tròn cố định là 6.