Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có một véc tơ chỉ phương $\vec{u}(-1;4;3)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }C$ bằng

Cho $(u_n)$ là cấp số cộng có $u_9=5u_2$ và $u_{13}=2u_6+5$. Số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó là

Cho các biến cố $A$ và $B$ thoả mãn $P(A)>0$, $P(B)>0$. Khi đó, $P(A|B)$ bằng biểu thức nào dưới đây?

Nghiệm của phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+1}=9^{2x}$ là

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ trong không gian được tính bằng

Cho các hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và có đồ thị như hình vẽ. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ là

Một tổ chức nghiên cứu đang khảo sát mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm đúng cách và khả năng bị chấn thương đầu khi xảy ra tai nạn giao thông ở người đi xe máy. Kết quả cho thấy một người tham gia giao thông, nếu đội mũ bảo hiểm đúng cách, xác suất không bị chấn thương đầu khi gặp tai nạn là 0,85. Còn nếu không đội mũ đúng cách, xác suất bị chấn thương đầu khi gặp tai nạn là 0,87, xác suất để người đó đội mũ bảo hiểm đúng cách khi tham gia giao thông là 0,83.

Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở một vị trí phù hợp thì tâm bão có tọa độ là $(300;200;1)$. Một mặt cầu để mô tả ranh giới vùng ảnh hưởng của bão và bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10, giật từ cấp 12 trở lên khoảng $100km$ tính từ tâm bão.



Hình ảnh về mắt siêu bão Yagi qua vệ tinh

Ảnh chụp vệ tinh cơn bão Yagi vào lúc 10h ngày 6 tháng 9 năm 2024.

Một nhóm kỹ sư đang thử nghiệm một loại khinh khí cầu sử dụng năng lượng mặt trời để bay lên không trung trong điều kiện không trọng lực tại một khu vực giả lập vũ trụ. Khinh khí cầu bắt đầu bay lên ở độ cao $50m$ tại thời điểm $t=0$. Sau khi kích hoạt hệ thống điều khiển, vận tốc bay lên của khinh khí cầu (tính theo mét/giây) được lập trình theo thời gian như sau: $v(t)=-0,1t^3+0,8t^2(m/s)$. Gọi $h(t)$ là độ cao của khinh khí cầu (tính theo mét) ở thời điểm $t$.

Cho hàm số $f(x)=x^2-7x+9\ln (x+2)+3$

Một robot khảo sát không gian hoạt động trong môi trường $3D$ có một cảm biến hình cầu, được lập trình để di chuyển sao cho cảm biến này tiếp xúc tại một điểm $Q$ trên một bức tường nghiêng là mặt phẳng có phương trình $x+y-z-3=0$ để đo đạc. Trong lúc khảo sát, cảm biến luôn phải đi qua hai điểm chuẩn đã cố định sẵn trong không gian là điểm $M(1;1;1)$ – vị trí cảm biến tại lần đo đầu tiên và điểm $N(-3;-3;-3)$ – vị trí cảm biến tại lần đo tiếp theo. Để tối ưu hoá phần mềm điều hướng, kỹ sư muốn xác định rằng: Dù cảm biến (hình cầu) có di chuyển sao cho tiếp xúc ở đâu trên bức tường, điểm tiếp xúc đó luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn cố định đó, từ đó giúp lập trình robot dò tìm tiếp điểm dễ dàng hơn trong các lần đo tiếp theo.

Một bà mẹ muốn cho con vào học một trường quốc tế sau khi tốt nghiệp THPT. Để chủ động việc đóng học phí cho con, vào cùng một thời điểm mỗi năm trong 5 năm liên tiếp, bà mẹ gửi tiền vào một tài khoản có lãi suất kép hằng năm. Các khoản tiền gửi lần lượt là $100$ triệu đồng, $120$ triệu đồng, $150$ triệu đồng, $160$ triệu đồng, $180$ triệu đồng. Hỏi rằng sau lần gửi tiền cuối cùng, tổng số tiền trong tài khoản là bao nhiêu biết lãi suất là $6\%$ / năm? (kết quả làm tròn đến hàng triệu, đơn vị là triệu đồng)?

Một công ty tiến hành dồn hàng hóa, lúc đầu có 2 lô sản phẩm gồm sản phẩm loại I và sản phẩm loại II. Lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II. Lô thứ hai có 9 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm, các sản phẩm còn lại được dồn vào lô thứ ba. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô thứ ba, xác suất để lấy được sản phẩm là sản phẩm loại I là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Cho các đồ thị hàm số: $y=a^x,y=a^{-x},y=A{x}^2+Bx+C,a>1,A,B,C\in \mathbb{R}$ và đường tròn $(C)$. Gọi $(D)$ là miền phẳng được tô đậm (hình vẽ). Quay miền $(D)$ quanh trục $Ox$ ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Hai khu dân cư $A$ và $B$ nằm ở hai bờ đối diện của một con sông rộng. Khu $A$ cách sông $6km$, khu $B$ cách sông $8km$. Chính quyền muốn xây dựng một cây cầu $PQ$ bắc ngang sông để thuận tiện đi lại. Biết rằng $QM+NP=30km$, và độ dài cây cầu $PQ$ là cố định. Hỏi đầu cây cầu Q cách thành phố $A$ là bao nhiêu $km$ để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất (đi theo đường $AQPB$)? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $HA=2HB$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^0$. Khoảng cách giữa hai đường $SA$ và $BC$ bằng $ma$. Tìm giá trị của $m$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).