Một tấm kẽm hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $30cm$. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh $EF$ và $GH$ cho đến khi $AD$ và $BC$ trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi thể tích khối lăng trụ lớn nhất thì khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $EFGH$ bằng $a\sqrt{b}(cm)$ với $a,b$ là các số nguyên dương. Tính $T=a+2025b$.

Đáp án: 6080



Thể tích khối lăng trụ là $V=BC\cdot S_{ABG}=30S_{AEG}$. Theo giả thiết ta có $2x<30\iff x<15$.

Ta có tam giác $△AEG$ có độ dài các cạnh là $AE=AG=x$ cm, $EG=20-2x$ cm nên diện tích là
$$S=\sqrt{15(15-x)(15-x)\left[15-(20-2x)\right]}=\sqrt{15(15-x{)}^2(2x-15)}=(15-x)\sqrt{15(2x-15)}(c{m}^2)$$

Xét hàm số $f(x)=(15-x)\sqrt{15(2x-15)}$ với $0<x<15$.

Ta có: $f^{\prime }(x)=-\sqrt{15(2x-15)}+(15-x)\cdot \frac{15}{\sqrt{15(2x-15)}}$

$f^{\prime }(x)=0\iff \sqrt{15(2x-15)}=(15-x)\frac{15}{\sqrt{15(2x-15)}}\iff 2x-15=15-x\iff x=10$.

BBT:



Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi và chỉ khi diện tích $S_{AEG}$ đạt giá trị lớn nhất khi đó $x=10$

Tam giác $AEG$ đều cạnh $x=10$ nên $d(A,EG)=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.

Do $(AEG)$ vuông góc với $(EFGH)$ nên khoảng cách từ $A$ đến $(EFGH)$ bằng độ cao kẻ từ $A$ đến $EG$

Vậy $d(A;EFGH)=5\sqrt{3}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=5\\ b=3\end{array}\Rightarrow T=a+2025b=5+2025\cdot 3=6080$.