Cho hàm số $f(x)=\sin 2x-x$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án:



a) $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2};f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}$. Do đó, ý a là đúng.

b) $f^{\prime }(x)=2\cos 2x-1$. Do đó, ý b là sai.

c) Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, $f^{\prime }(x)=0\iff \cos 2x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}$. Do đó, ý c là đúng.

d) $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2};f\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6};f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6};f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ là $-\frac{\pi }{2}$. Do đó, ý d là đúng.
a) a) $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2};f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}$. Do đó, ý a là đúng.
b) b) $f^{\prime }(x)=2\cos 2x-1$. Do đó, ý b là sai.
c) c) Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, $f^{\prime }(x)=0\iff \cos 2x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}$. Do đó, ý c là đúng.
d) d) $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2};f\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6};f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6};f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ là $-\frac{\pi }{2}$. Do đó, ý d là đúng.