Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu $O$ và $P$, cách nhau $4$ m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục $Oxy$ như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình $y=f(x)$.



Người ta chứng minh được $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{100}\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)$ với $0\le x\le 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân hai lần: f”(x)=1/100(2x−x²/2) ⇒ f'(x)=1/100(x²−x³/6)+C₁; f(x)=1/100(x³/3−x⁴/24)+C₁x+C₂. Vì ván tựa tại O(0,0) và P(4,0) nên f(0)=0 ⇒ C₂=0; f(4)=1/100(64/3−256/24)+4C₁=1/100(64/3−32/3)+4C₁=8/75+4C₁=0 ⇒ C₁=−2/75. Vậy f(x)=1/100(x³/3−x⁴/24)−(2/75)x. a) Đúng: f' là một nguyên hàm của f”. b) Đúng: f là một nguyên hàm của f'. c) Sai: với dấu +2/75 thì f(4)=16/75≠0, mâu thuẫn điều kiện biên; hệ số đúng là −2/75. d) Điểm cách P 3 m nên x=4−3=1: f(1)=1/100(1/3−1/24)−2/75=7/2400−64/2400=−57/2400=−0,02375 m=−2,375 cm≈2,38 cm, không phải 2,35 cm ⇒ Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) là một nguyên hàm của f”(x), tức f'(x)=∫f”(x)dx (đúng đến hằng số).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tương tự, f(x)=∫f'(x)dx là nguyên hàm của f'(x).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tích phân hai lần với f(0)=0, f(4)=0 cho C₁=−2/75, nên f(x)=1/100(x³/3−x⁴/24)−(2/75)x; đề ghi +2/75 nên sai dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại x=1 (cách P 3 m): f(1)=−0,02375 m=−2,375 cm≈2,38 cm, không phải 2,35 cm.