Số nghiệm của phương trình ${\log }_3{\left(x-1\right)}^2+{\log }_{\sqrt{3}}\left(2x-1\right)=2$ là

Điều kiện: $x>-\frac{1}{2},x\ne 1$

Ta có: ${\log }_2{\left(x-1\right)}^2+{\log }_{\sqrt{2}}\left(2x+1\right)=2\iff {\log }_2{\left(x-1\right)}^2+{\log }_2{\left(2x+1\right)}^2={\log }_{2}4$

$\iff {\log }_2{\left[\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\right]}^2={\log }_{2}4\iff {\left(2x^2-x-1\right)}^2=4$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}2x^2-x-1=-2\\ 2x^2-x-1=2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}2x^2-x+1=0(VN)\\ 2x^2-x-3=0\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ x=-1\end{array}\right].$

Thử lại ta có một nghiệm $x=\frac{3}{2}$ thỏa mãn. Vậy phương trình có 1 nghiệm.