Tổng các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bất phương trình ${\log }_x\left({\log }_3\frac{9^x-328}{78}\right)<1$ là

Điều kiện $\{\begin{array}{l}x>0,x\ne 1\\ 9^x>328\end{array}\iff x>{\log }_{9}328$.

Khi đó: ${\log }_x\left({\log }_3\frac{9^x-328}{78}\right)<1\iff {\log }_3\frac{9^x-328}{78}<x$

$\iff 9^x-328<78.3^x\iff 3^{2x}-78.3^x-328<0\iff 3^x<82\iff x<{\log }_{3}82$.

So với điều kiện, suy ra ${\log }_{9}328<x<{\log }_{3}82$.

Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{3;4\}$.

Vậy tổng các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bất phương trình ${\log }_x\left({\log }_3\frac{9^x-328}{78}\right)<1$ là 7.