Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_4(x+6)<2-2{\log }_{4}x$ bằng

Điều kiện $x>0$.

Ta có: ${\log }_4(x+6)<2-2{\log }_{4}x\iff {\log }_4(x+6)<{\log }_4\frac{16}{x^2}$

$\iff x+6<\frac{16}{x^2}\iff x^3+6x^2-16<0\iff \{\begin{array}{l}x<-2-2\sqrt{3}\\ -2<x<-2+2\sqrt{3}.\end{array}$

So với điều kiện ta có $0<x<-2+2\sqrt{3}$.

Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là $x=1$.

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên.