Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ. (Nguồn: R.Larson and B. Eawads, Calculus 10e, Cengage). Cho biết sau 2 giờ đã có 500 người có mặt. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+C$. Vì $Q(2)=16-192+576+C=400+C=500$ nên $C=100$, tức $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$.
a) Sai, vì thiếu hằng số $+100$.
b) $Q(5)=625-3000+3600+100=1325$: đúng.
c) $Q^{\prime }(t)=4t(t-6)(t-12)$: $Q$ tăng trên $[0;6]$, giảm trên $(6;12)$, tăng trên $(12;13]$. So sánh $Q(6)=1296-5184+5184+100=1396$ và $Q(13)=28561-52668+24336+100=329$, max là $1396$: đúng.
d) $Q^{\prime \prime }(t)=12t^2-144t+288=0\iff t=6\pm 2\sqrt{3}$. Trên $[0;13]$, $Q^{\prime }$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=13$ với $Q^{\prime }(13)=8788-12168+3744=364$, lớn hơn $Q^{\prime }(6-2\sqrt{3})\approx 332,6$ và $Q^{\prime }(6)=0$. Vậy tốc độ thay đổi lớn nhất không xảy ra tại $t=6$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+C$ với $Q(2)=500$ cho $C=100$, nên thiếu $+100$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $Q(5)=625-3000+3600+100=1325$ người.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $Q^{\prime }(t)=4t(t-6)(t-12)$; max tại $t=6$: $Q(6)=1396$, lớn hơn $Q(13)=329$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $Q^{\prime \prime }(t)=12t^2-144t+288=0\iff t=6\pm 2\sqrt{3}$. Trên $[0;13]$, $Q^{\prime }$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=13$ với $Q^{\prime }(13)=364$ (so sánh $Q^{\prime }(6-2\sqrt{3})\approx 332,6$ và $Q^{\prime }(6)=0$). Do đó tốc độ thay đổi lớn nhất không xảy ra tại $t=6$: mệnh đề sai.