[NB] Tính $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}(2x-\sin x+4)\mathrm{dx}$

[TH] Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2}{x+2}$ trên khoảng $(-2;+\infty )$ và $F(-1)=0$. Khi đó $F(2)$ bằng

[NB] Mặt phẳng $(\alpha )$ có cặp véc tơ chỉ phương là $\vec{u}=(3;1;2)$ và $\vec{v}=(1;1;-1)$. Khi đó, mặt phẳng $(\alpha )$ có một véc tơ pháp tuyến là

[NB] Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(2;-2;3)$ và có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(-1,4,1)$ là

[TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, điểm $M(a,b,c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x+y+z-6=0$ và cách đều các điểm $A(1;6;0),B(-2;2;-1),C(5;-1;3)$. Tích $abc$ bằng

[VD] Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(2;1;3)$, $B(1;-1;2)$, $C(3;-6;1)$. Điểm $M(x;y;z)$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $P=x+y+z$.

[VD] Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $2x^2+f(x)=2x.f^{\prime }(x)$ với mọi $x>0$. Biết $f(1)=1$, giá trị của $f(9)$ bằng

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ. (Nguồn: R.Larson and B. Eawads, Calculus 10e, Cengage). Cho biết sau 2 giờ đã có 500 người có mặt. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t)=2t$ (m/s), trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được 12 giây thì ô tô gặp chướng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v_2(t)$ và gia tốc là $a=-8\left({\text{m/s}}^2\right)$ cho đến khi dừng hẳn. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $2x+y-2z+3=0$ và điểm $M(-2;2;3)$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

[TH] Cho hàm số $y=f(x)$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình vẽ. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng $A$ và $B$ lần lượt là $S_A=4$ và $S_B=10$. Cho biết giá trị của $f(0)=2$. Tính giá trị của $f(3)$.

[TH] Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left(P\right):y=-x^2+9$. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi $\left(P\right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=-2,x=2$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục $Ox$ (làm tròn đến phần nguyên).

[VD] Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x(\mathrm{cm})(0\le x\le 16)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left(10+\sqrt{x}\right)(\mathrm{cm})$. Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?

[TH] Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt mặt phẳng $\left(P\right):x+3y-z=0$ và $\left(Q\right):x-y-2z+1=0$. Gọi điểm $M\left(0;0;z\right)$ cách đều hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$, với $z=\frac{22\pm \sqrt{b}}{38}$. Khi đó, $b$ bằng bao nhiêu?

[VD] Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z-4=0$ và $\left(Q\right):x+2y-z+3=0$. Gọi $d$ là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$. Biết giao điểm của đường thẳng $d$ và $\left(Oyz\right)$ là điểm $M\left(0;b;c\right)$, tính $b+c$.