Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi $P(x)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán $x$ (tấn) sản phẩm trong một tuần. Khi đó đạo hàm $P^{\prime }(x)$ gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $P^{\prime }(x)=17-0,025x$ với $0\le x\le 100$. Biết nhà máy lỗ 24 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P^{\prime }(x)=17-0,025x$ nên $P(x)=\int (17-0,025x)dx=17x-0,0125x^2+C$. Vì nhà máy lỗ 24 triệu đồng khi không bán được gì nên $P(0)=-24\Rightarrow C=-24$. Vậy $P(x)=17x-0,0125x^2-24$ với $0\le x\le 100$.

a) Sai: do điều kiện $P(0)=-24$ nên hằng số $C$ bị xác định $C=-24$, không còn là hằng số bất kỳ.

b) Sai: công thức chỉ áp dụng với $0\le x\le 100$, nên không thể tính lợi nhuận khi bán 120 tấn (ngoài miền xác định).

c) Đúng: $P(80)=17\cdot 80-0,0125\cdot 80^2-24=1360-80-24=1256$ (triệu đồng) $=1$ tỉ 256 triệu đồng.

d) Sai: nhà máy có lãi khi $P(x)>0\iff 17x-0,0125x^2-24>0$. Giải $0,0125x^2-17x+24=0$ được $x=\frac{17\pm \sqrt{289-1,2}}{0,025}$, nghiệm nhỏ $x\approx \frac{17-16,9647}{0,025}\approx 1,41$. Vậy chỉ khi bán được từ khoảng $1,41$ tấn trở lên (và $x\le 100$) nhà máy mới có lãi, chứ không phải từ $1,3$ tấn; ví dụ $P(1,3)=22,1-0,021125-24<0$ vẫn lỗ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $P(0)=-24$ nên $C=-24$, hằng số không còn bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức chỉ có ý nghĩa với $0\le x\le 100$, không tính được tại $x=120$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(80)=1360-80-24=1256$ triệu đồng $=1$ tỉ 256 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)>0$ khi $x⪆1,41$ tấn, nên bán 1,3 tấn vẫn lỗ.