Theo kế hoạch của một phân xưởng gia công chi tiết nhỏ, nếu mỗi ngày xưởng này sản xuất $x$ (sản phẩm) thì phải chi trả các khoản sau: 10 triệu đồng chi phí cố định (tiền thuê mặt bằng, điện nước cơ bản.); 0,05 triệu đồng cho mỗi sản phẩm (nguyên liệu, nhân công); và $0,001x^2$ triệu đồng chi phí xử lý rác thải và hao mòn máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của xưởng là 300 sản phẩm. Gọi $C(x)$ là tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline{C}(x)$ là chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí gồm chi phí cố định 10 triệu đồng, chi phí biến đổi $0,05x$ triệu đồng và chi phí xử lý rác thải, hao mòn $0,001x^2$ triệu đồng, nên $C(x)=0,001x^2+0,05x+10$ với $0\le x\le 300$ → a) Đúng.
Với $x=50$: $C(50)=0,001\cdot 2500+0,05\cdot 50+10=2,5+2,5+10=15$ triệu đồng, không phải 12,5 triệu đồng → b) Sai.
Chi phí trung bình $\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=0,001x+0,05+\frac{10}{x}$, khác biểu thức $0,001x+10+\frac{0,05}{x}$ đã cho → c) Sai.
Xét $\overline{C}(x)=0,001x+\frac{10}{x}+0,05$ trên $(0;300]$, có ${\overline{C}}^{\prime }(x)=0,001-\frac{10}{x^2}=0\iff x=100$; $\overline{C}$ giảm trên $(0;100)$ và tăng trên $(100;300)$ nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=100$, với $\overline{C}(100)=0,1+0,1+0,05=0,25$ triệu đồng/sản phẩm → d) Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 1204, Câu 1): a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$C(x)=10+0,05x+0,001x^2=0,001x^2+0,05x+10$ (triệu đồng), đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$C(50)=0,001\cdot 50^2+0,05\cdot 50+10=2,5+2,5+10=15$ triệu đồng, không phải 12,5 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overline{C}(x)=\frac{0,001x^2+0,05x+10}{x}=0,001x+0,05+\frac{10}{x}$, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\overline{C}}^{\prime }(x)=0,001-\frac{10}{x^2}=0\Rightarrow x=100$; $\overline{C}$ giảm trên $(0;100)$, tăng trên $(100;300)$ nên chi phí trung bình nhỏ nhất tại $x=100$ sản phẩm/ngày.