Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), C'(a;a;a), D'(0;a;a).
a) Đúng: $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$ nên $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$.
b) Sai: $\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$ còn $\overrightarrow{DA}=(0;-a;0)$, do đó $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}\ne \overrightarrow{DA}$ (thực tế $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).
c) Sai: $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=(0;a;0)$ (cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$), nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=0\ne -a^2$.
d) Sai: $\overrightarrow{C^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}$ suy ra $N=\frac{C^{\prime }+2B^{\prime }}{3}=(a;\frac{2a}{3};a)$. Khi đó $\overrightarrow{AN}=(a;\frac{2a}{3};a)=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, khác $\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)S - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$ nên $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$ và $\overrightarrow{DA}=(0;-a;0)$ nên $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}$, không bằng $\overrightarrow{DA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên tích vô hướng bằng $0$, không phải $-a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{C^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}$ được $N=(a;\frac{2a}{3};a)$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.