Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vecto $\vec{a}=(1;-2;1)$, $\vec{b}=(-2;1;1)$. Tính góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2025$, giá trị cực tiểu của hàm số là

Một công ty sản xuất một loại sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là $p(x)=400-2x$, trong đó $p(x)$ (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có $x$ sản phẩm được bán ra. Tính doanh thu của công ty nếu bán ra 20 sản phẩm là

Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$2$		$+\infty$
$f^{\prime }(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

Đồ thị hình bên là của hàm số:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;-2)$ và $B(3;-1;2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là

Theo kế hoạch của một phân xưởng gia công chi tiết nhỏ, nếu mỗi ngày xưởng này sản xuất $x$ (sản phẩm) thì phải chi trả các khoản sau: 10 triệu đồng chi phí cố định (tiền thuê mặt bằng, điện nước cơ bản.); 0,05 triệu đồng cho mỗi sản phẩm (nguyên liệu, nhân công); và $0,001x^2$ triệu đồng chi phí xử lý rác thải và hao mòn máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của xưởng là 300 sản phẩm. Gọi $C(x)$ là tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline{C}(x)$ là chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm. Khi đó:

Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;0;-2)$, $B(-2;3;4)$ và $C(4;-6;1)$.

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Một máy bay trình diễn bay theo một đường cong được mô phỏng bằng một phần của đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+b{x}^2+cx$. Trục Ox gắn với mặt đất và trục Oy là độ cao, đơn vị là km. Máy bay cất cánh từ vị trí A và đạt độ cao cực đại tại vị trí B sau khi bay được 3km theo phương ngang. Hãy xác định vị trí điểm C (hoành độ) máy bay tiếp đất lần đầu tiên. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Nhóm học sinh lớp 12A khởi nghiệp dự án bán áo thun in hình linh vật năm mới để gây quỹ từ thiện. Qua khảo sát, nhóm nhận thấy mối liên hệ giữa số lượng áo bán được $x$ (chiếc) và giá bán $p$ (nghìn đồng/chiếc) tuân theo công thức $p(x)=220-x,(20\le x\le 120)$

Biết rằng chi phí vốn để vốn để sản xuất mỗi chiếc áo là 100 nghìn đồng và chi phí cố định ban đầu (thiết kế, quảng cáo) là 1.500 nghìn đồng. Để thu được lợi nhuận cao nhất từ dự án này, nhóm học sinh cần bán được bao nhiêu chiếc áo?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-5;2;3)$ và $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua trục $Ox$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Gọi $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\frac{12x+1}{x+5}$. Tính độ dài đoạn $OI$

Trong đợt mua lũ lịch sử tại miền Trung, hai ngôi làng nằm sâu trong vùng ngập lụt đang bị cô lập hoàn toàn. Đội cứu hộ sử dụng hai chiếc Flycam (máy bay không người lái) để thả nhu yếu phẩm và quan sát mực nước.

- Flycam A đang hoạt động tại vị trí có tọa độ E(0;2;4).
- Flycam B đang hoạt động tại vị trí có tọa độ F(0;11;8).



(Đơn vị đo khoảng cách là km, cao độ so với mực nước biển).

Trục Oy mô phỏng tuyến Quốc lộ 1A – con đường huyết mạch duy nhất lúc này chưa bị ngập sâu và xe chuyên dụng có thể di chuyển được.

Ban chỉ huy cần đặt một Xe Trạm thu phát tín hiệu lưu động $M$ nằm trên Quốc lộ 1A (trục Oy) để điều khiển cả hai Flycam. Gọi $M(0;y;0)$ là điểm sao cho tổng khoảng cách từ xe đến hai Flycam $ME+MF$ là ngắn nhất. Tìm $y$.

Cho hàm số $y=x^3+9x^2-12$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Điểm $M(a;b)$ là điểm cực tiểu của đồ thị $(C)$. Giá trị của $a-b$ bằng bao nhiêu?