Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình: $\sqrt{2x^2+mx+5}-x=3$ có đúng một nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\sqrt{2x^2+mx+5}=x+3$ nên cần $x\ge -3$. Bình phương: $2x^2+mx+5=x^2+6x+9\iff x^2+(m-6)x-4=0$.

Delta $=(m-6{)}^2+16>0$ với mọi $m$, nên luôn có hai nghiệm thực phân biệt $x_1,x_2$ với $x_1{x}_2=-4<0$: một nghiệm dương, một nghiệm âm. Nghiệm dương luôn thỏa $x\ge -3$.

Xét $f(x)=x^2+(m-6)x-4$ (parabol hướng lên). Nghiệm âm $<-3$ khi và chỉ khi $-3$ nằm giữa hai nghiệm, tức $f(-3)<0$: $f(-3)=9-3(m-6)-4=23-3m<0\iff m>\frac{23}{3}$.

Nếu $f(-3)=0$ tức $m=\frac{23}{3}$, thì $x=-3$ là nghiệm và nghiệm còn lại $=\frac{4}{3}>0$, cả hai đều thỏa nên có 2 nghiệm — loại.

Vậy phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi $m>\frac{23}{3}$. Kiểm tra lại: với $m>23/3$, nghiệm âm nhỏ hơn $-3$ bị loại (không thỏa $x\ge -3$), chỉ còn nghiệm dương — đúng một nghiệm.