Tìm $m$ để phương trình $\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1$ có hai nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x+1\ge 0\iff x\ge -\frac{1}{2}$. Bình phương hai vế: $x^2+mx+2=4x^2+4x+1\iff 3x^2+(4-m)x-1=0$. Vì tích hai nghiệm $=-\frac{1}{3}<0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1<0<x_2$ ($\Delta =(4-m{)}^2+12>0$ luôn). Nghiệm dương $x_2$ tự thỏa $x_2\ge -\frac{1}{2}$; chỉ cần $x_1\ge -\frac{1}{2}$. Với parabol $f(x)=3x^2+(4-m)x-1$ mở lên, điều kiện $x_1\ge -\frac{1}{2}$ tương đương $f\left(-\frac{1}{2}\right)\ge 0$ và đỉnh $\frac{m-4}{6}\ge -\frac{1}{2}$. Ta có $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{4-m}{2}-1=\frac{m}{2}-\frac{9}{4}\ge 0\iff m\ge \frac{9}{2}$; và $\frac{m-4}{6}\ge -\frac{1}{2}\iff m\ge 1$. Vậy $m\ge \frac{9}{2}$. Kiểm tra $m=\frac{9}{2}$: $3x^2-\frac{1}{2}x-1=0$ có nghiệm $x=\frac{2}{3}$ và $x=-\frac{1}{2}$, cả hai đều thỏa điều kiện, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Với $m<\frac{9}{2}$ (ví dụ $m=4$): nghiệm âm $-\frac{1}{\sqrt{3}}<-\frac{1}{2}$ bị loại, chỉ còn một nghiệm.