Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) $\cos 2\alpha ,\sin 2\alpha ,\tan 2\alpha$ khi $\cos \alpha =-\frac{5}{13},\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$
b) $\cos 2\alpha ,\sin 2\alpha ,\tan 2\alpha$ khi $\tan \alpha =2$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 119:

a) Với $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ (góc phần ba), ta có $\sin \alpha <0$:
$$\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}.$$

Áp dụng công thức nhân đôi:
$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{25}{169}-1=\frac{50-169}{169}=-\frac{119}{169}.$$
$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{120}{169}.$$
$$\tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{120/169}{-119/169}=-\frac{120}{119}.$$

b) Với $\tan \alpha =2$, dùng công thức theo $\tan \alpha$:
$$\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}.$$
$$\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{4}{5}.$$
$$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{4}{1-4}=-\frac{4}{3}.$$

Kiểm tra: ${\sin }^{2}2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha =\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ (đúng ở cả hai câu).