Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$ khi $\sin \alpha =\frac{3}{5},\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$
b) $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)$ khi $\sin \alpha =-\frac{12}{13},\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 116:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Với $\sin \alpha =\frac{3}{5}$:
$$\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5},\tan \alpha =\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}.$$
Áp dụng công thức tang của tổng hai góc:
$$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{3}}{1-\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{3}}=\frac{-\frac{3}{4}+\sqrt{3}}{1+\frac{3\sqrt{3}}{4}}=\frac{4\sqrt{3}-3}{4+3\sqrt{3}}.$$
Nhân cả tử và mẫu với $4-3\sqrt{3}$ (liên hợp của $4+3\sqrt{3}$, mẫu $16-27=-11$):
$$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{(4\sqrt{3}-3)(4-3\sqrt{3})}{16-27}=\frac{16\sqrt{3}-36-12+9\sqrt{3}}{-11}=\frac{25\sqrt{3}-48}{-11}=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}.$$

b) Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\cos \alpha >0$. Với $\sin \alpha =-\frac{12}{13}$:
$$\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}.$$
Áp dụng công thức cos của hiệu hai góc:
$$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}.$$