Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3x+\frac{4}{x^2}$ trên khoảng $(0;+\infty )$. (kết quả được quy tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=3x+\frac{4}{x^2}$ trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=3-\frac{8}{x^3}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x^3=\frac{8}{3}\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{8}{3}}\approx 1,3867$. Với $0<x<\sqrt[3]{8/3}$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>\sqrt[3]{8/3}$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\sqrt[3]{8/3}$. Tại đó $\frac{4}{x^2}=\frac{3x}{2}$, suy ra $y_{\min }=3x+\frac{3x}{2}=\frac{9x}{2}=\frac{9}{2}\sqrt[3]{\frac{8}{3}}\approx 6,2402\approx 6,24$. Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $6,24$.