Tính số nghiệm của phương trình $\sin \left(3x-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ trên khoảng $(-\pi ;\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(3x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos 3x$, nên phương trình trở thành $-\cos 3x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $3x=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

Họ 1: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3}$. Với $k=-1$: $x=-\frac{5\pi }{12}\in (-\pi ;\pi )$; $k=0$: $x=\frac{\pi }{4}$; $k=1$: $x=\frac{11\pi }{12}$; $k=2$: $x=\frac{19\pi }{12}\notin (-\pi ;\pi )$; $k=-2$: $x=-\frac{13\pi }{12}\notin (-\pi ;\pi )$. → 3 nghiệm.

Họ 2: $x=-\frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3}$. Với $k=0$: $x=-\frac{\pi }{4}$; $k=1$: $x=\frac{5\pi }{12}$; $k=-1$: $x=-\frac{11\pi }{12}$; $k=2$: $x=\frac{13\pi }{12}\notin (-\pi ;\pi )$; $k=-2$: $x=-\frac{19\pi }{12}\notin (-\pi ;\pi )$. → 3 nghiệm.

Vậy tổng số nghiệm trên khoảng $(-\pi ;\pi )$ là $3+3=6$, khớp với đáp án nguồn.