Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left|x^5-5x^2+5(m-1)x-2026\right|$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^5-5x^2+5(m-1)x-2026$, có $f^{\prime }(x)=5(x^4-2x+m-1)$.

Ta có $y=|f(x)|$ nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ khi và chỉ khi: trên khoảng đó, tại những nơi $f(x)<0$ thì $f^{\prime }(x)\ge 0$ và tại những nơi $f(x)>0$ thì $f^{\prime }(x)\le 0$.

Xét $\phi (x)=x^4-2x$: ${\phi }^{\prime }(x)=4x^3-2=0\iff x=\alpha =2^{-1/3}\approx 0,794$, $\phi (\alpha )=-\frac{3\alpha }{2}\approx -1,1906$; $\phi$ giảm trên $(-\infty ;\alpha )$, tăng trên $(\alpha ;+\infty )$, và $\phi (x)\to +\infty$ khi $x\to -\infty$.

• Nếu $m-1>\phi (\alpha )$ (tức $m<1+\frac{3\alpha }{2}\approx 2,19$): $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại điểm $x_1<\alpha <1$. Trên $(x_1;\min (x_2;1))$ ta có $f^{\prime }<0$ mà $f$ vẫn âm (vì $f$ tăng từ $-\infty$ rồi $f(x_1)\le 0$), khi đó $|f|$ nghịch biến thành đồng biến — loại. (Kiểm tra $m=2$: $f^{\prime }(x)=5(x-1)(x^3+x^2+x-1)$, $f^{\prime }<0$ trên khoảng gần $1$ với $f(1)=5(2-407)<0$, nên $|f|$ đồng biến — loại.)

• Nếu $m-1\le \phi (\alpha )$ (tức $m\ge 2,19$, với $m$ nguyên thì $m\ge 3$): $x^4-2x+m-1\ge \phi (\alpha )+m-1\ge 0$ với mọi $x$, nên $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $\mathbb{R}$, tức $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Khi đó $|f|$ nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ nếu $f(x)<0$ với mọi $x<1$, điều kiện đủ là $f(1)\le 0$:
$$f(1)=1-5+5(m-1)-2026=5m-2035\le 0\iff m\le 407.$$

Vậy $m\in \mathbb{Z}$, $3\le m\le 407$ (405 giá trị). Tổng:
$$S=\frac{(3+407)\cdot 405}{2}=410\cdot 202,5=83025.$$

Khớp với đáp án nguồn 83025.