Trong không gian cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh là $a$ . Gọi $O$ là giao điểm của $BD$ và $AC$ .

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{A^{\prime }C}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }C}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{AC}$. Mặt khác $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vậy đẳng thức đúng.
b) $\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}$ (vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$), do đó $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, trong khi $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$. Hai vectơ khác nhau (ngược dấu thành phần $B{B}^{\prime }$), nên sai.
c) $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}-\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }O}=\overrightarrow{C^{\prime }O}$. Đúng.
d) Đặt $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;a;-a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a;0;-a)$, tích vô hướng $=0+0+a^2=a^2\ne 0$. Vậy sai (góc giữa hai đường chéo này có $\cos =\frac{1}{2}$, góc $60^{\circ }$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }C}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ vì $ABCD$ là hình vuông.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}-\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }O}=\overrightarrow{C^{\prime }O}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;a;-a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a;0;-a)$ thì tích vô hướng bằng $a^2\ne 0$.