Trong không gian $Oxyz$, cho 4 điểm $A(1;1;1)$, $B(3;3;1)$, $C(6;0;2)$, $D(2;4;2)$. Biết điểm $M$ di động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ để biểu thức $P=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}-2{\overrightarrow{MC}}^2+3{\overrightarrow{MD}}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ $M$ và tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$.

Cách 1: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. $H$ là điểm thỏa ${\overrightarrow{HI}}^2-2\overrightarrow{HC}+3\overrightarrow{HD}=\vec{0}$.
Tính đúng $I(2;2;1)$, $H\left(-2;7;\frac{3}{2}\right)$ — 0,25 điểm.
Biến đổi biểu thức $P$ về dạng $P=2M{H}^2+H{I}^2-2H{C}^2+3H{D}^2+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$ — 0,25 điểm.
Nhận xét: $H{I}^2-2H{C}^2+3H{D}^2+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$ không đổi, nên $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MH$ nhỏ nhất. Do đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên mặt phẳng $(Oxz)$.
Kết luận đúng tọa độ $M\left(-2;0;\frac{3}{2}\right)$ — 0,25 điểm.
Tính được giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $-13,5$ — 0,25 điểm.
Cách 2: Gọi $M(x;0;z)$, $\overrightarrow{MA}=(1-x,1,1-z)$, $\overrightarrow{MB}=(3-x,3,1-z)$, $\overrightarrow{MC}=(6-x,0,2-z)$, $\overrightarrow{MD}=(2-x,4,2-z)$ — 0,125 điểm.
$P=(x-1)(x-3)+3+(z-1{)}^2-2\left[(x-6{)}^2+(z-2{)}^2\right]+3\left[(x-2{)}^2+16+(z-2{)}^2\right]$ — 0,25 điểm.
$P=2x^2+2z^2+8x-6z-1$ — 0,25 điểm.
$P=2\left[(x+2{)}^2+{\left(z-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{27}{4}\right]\ge -2.\frac{27}{4}=-\frac{27}{2}=-13,5$ khi $x=-2;z=\frac{3}{2}$ — 0,25 điểm.
Kết luận tọa độ $M\left(-2;0;\frac{3}{2}\right)$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $-13,5$ — 0,125 điểm.