Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(6;2;-1), B(-2;-6;3), C(2;-2;1). Hai điểm M,N thay đổi sao cho MN=5, MC=NC đồng thời tam giác MAB vuông tại M. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2OM² - ON² gần nhất với số nào trong các số sau

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $(d):\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{x+2}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x-y+z-25=0$. Một đường thẳng $(d^{\prime })$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $(d)$ tại điểm $N$ và $(d^{\prime })$ song song với mặt phẳng $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(2;3;4)$. Giả sử điểm $M(a;b;0)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho tổng khoảng cách $MA+MB$ ngắn nhất. Tính $T=a+b$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y-2z+5=0$ và $2$ mặt cầu $(S_1):(x-2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=1,(S_2):(x+4{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=4$. Gọi $M,A(a;b;c),B$ lần lượt thuộc $(P),(S_1),(S_2)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất? Tính $a-b+c$?

Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNP$ có chiều dài $10$ m, chiều rộng $8$ m, chiều cao $4,2$ m. Phần mái nhà dạng hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{1}{6}$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho $M$ thuộc tia $Ox$, $P$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$ (như hình vẽ). Biết $S(a;b;c)$ (đơn vị của $a,b,c$ là met). Tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6\text{ m}$; $AE=5\text{ m}$; $AD=8\text{ m}$; $QT=7\text{ m}$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2\text{ m}$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  2;3;1 , B  2;1;0  , C  3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện tích hàng thang ABCD gấp bốn lần diện tích tam giác ABC.  D 13; 3; 4   D 13;9; 2 