Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;5)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng lớn nhất. Biết mặt phẳng $(P)$ cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại ba điểm $A$, $B$, $C$. Tính thể tích tứ diện $OABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):ax+by+cz=d$ qua $M(1;2;5)$ nên $a+2b+5c=d$. Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Theo Cauchy–Schwarz: $\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a+2b+5c}{\sqrt{1+4+25}}=\frac{d}{\sqrt{30}}$, nên khoảng cách $\le \sqrt{30}$, dấu bằng khi $(a,b,c)$ cùng phương $(1,2,5)$. Vì $(P)$ phải cắt ba tia dương nên lấy $(P):x+2y+5z=30$. Khi đó $A(30;0;0)$, $B(0;15;0)$, $C(0;0;6)$. Thể tích tứ diện $OABC=\frac{1}{6}\cdot OA\cdot OB\cdot OC=\frac{1}{6}\cdot 30\cdot 15\cdot 6=450$. Kết quả khớp bảng đáp án Phần III, Câu 5: 450.