Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;-2;1)$, $B(1;0;2)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z-2=0$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ $(P):x-2y+2z-2=0$ suy ra ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$.
b) Đúng: $(Q)$ đi qua $A,B$ nên $\overrightarrow{AB}=(1;2;1)$ là vectơ chỉ phương; $(Q)\perp (P)$ nên ${\vec{n}}_{(P)}$ cũng là vectơ chỉ phương của $(Q)$. Hai vectơ không cùng phương vì $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{n}}_{(P)}=1-4+2=-1\ne 0$.
c) Sai: ${\vec{n}}_{(Q)}=\overrightarrow{AB}\times {\vec{n}}_{(P)}=(2\cdot 2-1\cdot (-2);1\cdot 1-1\cdot 2;1\cdot (-2)-2\cdot 1)=(6;-1;-4)$. Mặt phẳng $(Q):6x-y-4z+d=0$; thay $A(0;-2;1)$: $0+2-4+d=0\Rightarrow d=2$. Vậy $(Q):6x-y-4z+2=0$ (kiểm tra $B$: $6-0-8+2=0$ đúng), không phải $6x-y-4z-4=0$.
d) Sai: $d(O,(Q))=\frac{|2|}{\sqrt{6^2+(-1{)}^2+(-4{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{53}}=\frac{2\sqrt{53}}{53}\ne \frac{\sqrt{53}}{53}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P):x-2y+2z-2=0$ là $(1;-2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;2;1)$ nằm trong $(Q)$; $(Q)\perp (P)$ nên ${\vec{n}}_{(P)}$ là vectơ chỉ phương của $(Q)$; hai vectơ không cùng phương vì tích vô hướng bằng $-1\ne 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{(Q)}=\overrightarrow{AB}\times {\vec{n}}_{(P)}=(6;-1;-4)$, thay $A$ được $d=2$, nên $(Q):6x-y-4z+2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,(Q))=\frac{2}{\sqrt{53}}=\frac{2\sqrt{53}}{53}\ne \frac{\sqrt{53}}{53}$.