Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=(2;0;-1)$ và $\overrightarrow{v}=(1;-1;2)$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$ bằng

Một bác tài xế taxi thống kê lại độ dài quãng đường bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng

Thống kê điểm kiểm tra định kỳ môn Toán của lớp 12A được kết quả cho ở bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu trên bằng

Khẳng định nào sau đây là sai?

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x-z+2=0$. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+z+5=0$. Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng $(P)$?

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x+1$.

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $F(1)=-1$, $F(3)=5$.

Cắt một chiếc trống đồng có dạng khối tròn xoay bởi một mặt phẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với mặt đáy được mặt cắt là phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng hai đường cong thành bên lần lượt là một phần của đường parabol $y=f(x)$ và $y=g(x)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;-2;1)$, $B(1;0;2)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z-2=0$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Một công ty sản xuất đồ chơi dự kiến sản xuất không quá 1000 bộ đồ chơi mỗi tháng để đáp ứng nhu cầu thị trường. Nếu sản xuất $x$ bộ đồ chơi, doanh thu có thể đạt khi bán hết là $F(x)=2x^3-6000x^2+3000000x+8000000$ (đồng). Chi phí trung bình cho mỗi bộ là $\overline{C}(x)=1,5x+1800+\frac{5000000}{x}$ (đồng). Hỏi công ty cần sản xuất bao nhiêu bộ đồ chơi để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Vi khuẩn E. coli sống chủ yếu ở đường ruột và có số lượng lớn nhất trong hệ vi sinh vật của cơ thể. Một quần thể vi khuẩn E. coli được quan sát trong điều kiện thích hợp, có tốc độ sinh sản được cho bởi hàm số $f(t)=480.2^t.\ln 2$. Trong đó t tính bằng giờ $(t>0)$, $f(t)$ tính bằng cá thể/giờ (Nguồn: R.Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết tại thời điểm bắt đầu quan sát, số lượng cá thể được ước tính một cách chính xác khoảng 480 cá thể. Hỏi sau 3 giờ số lượng cá thể bằng bao nhiêu?

Cho $f(x)=x^2\ln x$. Biết rằng $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(f^{\prime }(x)+\frac{x-3}{x}\right)\mathrm{d}x=a\ln b+c$$ (với $a,b,c\in \mathbb{Q}$, $b<5$), hãy tính $abc$.

Một khối bê tông có chiều cao 2 m được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt phẳng nằm ngang và cách mặt đất $x$ m $(0\le x\le 2)$ thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có chiều dài 5 m và chiều rộng bằng $(0,5{)}^x$ m (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính thể tích (đơn vị m${}^3$) của khối bê tông đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;5)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng lớn nhất. Biết mặt phẳng $(P)$ cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại ba điểm $A$, $B$, $C$. Tính thể tích tứ diện $OABC$.

Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ như hình vẽ bên nhờ một phần mềm đồ họa máy tính (đơn vị trên mỗi trục là mét). Biết rằng sàn nhà, bốn mặt bên cùng với các mặt phẳng $(DEMN)$ và $(MNHF)$ là các hình chữ nhật, tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(DEMN)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).