Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;-1)$ và $B(1;3;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A$, $B$ và song song với trục $Oy$.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;2;2)$. Vì $(P)$ đi qua $A,B$ và song song $Oy$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\vec{j}$ là hai vectơ chỉ phương (a đúng). Tích có hướng $[\overrightarrow{AB},\vec{j}]=(-2;0;-1)$, không phải $(2;0;1)$ (b sai). Mặt phẳng có VTPT $(2;0;1)$ qua $A(2;1;-1)$: $2x+z+D=0\Rightarrow 4-1+D=0\Rightarrow D=-3$, nên $(P):2x+z-3=0$ (c sai). Khoảng cách từ $O$: $\frac{|-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;2;2)$ không cùng phương $\vec{j}$, cả hai đều nằm trong mặt phẳng song song $Oy$ đi qua $A,B$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$[\overrightarrow{AB},\vec{j}]=(-2;0;-1)$, khác $(2;0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Thay $A(2;1;-1)$ vào $2x+z+D=0$ được $D=-3$, nên $(P):2x+z-3=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$d(O,(P))=\frac{3}{\sqrt{2^2+1}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.