Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(1;1;-2)$; $\vec{b}=(1;0;m)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ để $\left(\vec{a};\vec{b}\right)=60^{\circ }$. Số phần tử của $S$ là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=1+0-2m=1-2m$, $|\vec{a}|=\sqrt{6}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+m^2}$.

Yêu cầu $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{1-2m}{\sqrt{6}\sqrt{1+m^2}}=\frac{1}{2}$, với điều kiện $1-2m>0$ (vì $\cos 60^{\circ }>0$), tức $m<\frac{1}{2}$.

Bình phương: $\frac{(1-2m{)}^2}{6(1+m^2)}=\frac{1}{4}\Rightarrow 4(1-4m+4m^2)=6+6m^2\Rightarrow 10m^2-16m-2=0\Rightarrow 5m^2-8m-1=0$.

Nghiệm: $m=\frac{8\pm \sqrt{64+20}}{10}=\frac{4\pm \sqrt{21}}{5}$.

Kiểm tra điều kiện $m<\frac{1}{2}$: $m_1=\frac{4-\sqrt{21}}{5}\approx -0,117$ (thỏa mãn); $m_2=\frac{4+\sqrt{21}}{5}\approx 1,72>\frac{1}{2}$ (loại vì khi đó $\cos$ âm, góc $120^{\circ }$).

Vậy $S=\left\{\frac{4-\sqrt{21}}{5}\right\}$, số phần tử của $S$ là $1$.