Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ có $A(1;0;1)$, $B(2;1;2)$, $D(1;-1;1)$, $C^{\prime }(4;5;-5)$. Tính tọa độ đỉnh $A^{\prime }$ của hình hộp.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Trước hết $C=B+D-A$ (tứ giác $ABCD$ là hình bình hành): $C=(2;1;2)+(1;-1;1)-(1;0;1)=(2;0;2)$. Sau đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}-\overrightarrow{AC}$, nên $A^{\prime }=A+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=A+C^{\prime }-B-D+2A$... cụ thể: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(3;5;-6)$, $\overrightarrow{AC}=(1;0;1)$, nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;5;-7)$, suy ra $A^{\prime }=A+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(1;0;1)+(2;5;-7)=(3;5;-6)$. Vậy đáp án C.