Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$, $B(-2;2;0)$ và $C(4;1;-1)$. Trên mặt phẳng $(Oxz)$, điểm nào dưới đây cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$ nên $A(2;2;2)$. Điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ có dạng $M(x;0;z)$.
Ta có:
$M{A}^2=(x-2{)}^2+(0-2{)}^2+(z-2{)}^2=x^2+z^2-4x-4z+12$;
$M{B}^2=(x+2{)}^2+(0-2{)}^2+z^2=x^2+z^2+4x+8$;
$M{C}^2=(x-4{)}^2+(0-1{)}^2+(z+1{)}^2=x^2+z^2-8x+2z+18$.
$MA=MB\iff -4x-4z+12=4x+8\iff 2x+z=1$.
$MA=MC\iff -4x-4z+12=-8x+2z+18\iff 2x-3z=3$.
Trừ hai phương trình: $4z=-2\Rightarrow z=-\frac{1}{2}$, suy ra $2x=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$.
Vậy điểm cần tìm là $P\left(\frac{3}{4};0;-\frac{1}{2}\right)$, chọn C. Kiểm tra: với $x=\frac{3}{4},z=-\frac{1}{2}$: $2x+z=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ ✓ và $2x-3z=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$ ✓.