Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ đứng $OBC.O^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác $OBC$ vuông tại $O$, biết $B(3;0;0)$, $C(0;1;0)$, $O^{\prime }(0;0;2)$. Gọi $I$ là trung điểm của $B^{\prime }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên B'(3;0;2), C'(0;1;2), I là trung điểm B'C nên I(3/2; 1/2; 1). (a) Vectơ pháp tuyến của (O'BC): O'B=(3;0;-2), O'C=(0;1;-2), tích có hướng n=(2;6;3). Mặt phẳng qua O'(0;0;2): 2x+6y+3z-6=0 → đúng. (b) O'B qua O'(0;0;2) có chỉ phương (3;0;-2); phương trình x=-3t, y=0, z=2+2t chỉ khác bằng cách đổi t→-t, vẫn là cùng đường thẳng (t=-1 cho B) → đúng. (c) Đường thẳng qua O vuông góc (O'BC) có chỉ phương n=(2;6;3) và đi qua O(0;0;0): x/2=y/6=z/3. Phương trình đề cho đi qua (-1;-3;0) ≠ O → sai. (d) OI=√(9/4+1/4+1)=√14/2; IC'=√((3/2)²+(1/2)²+1²)=√14/2=OI nên C' nằm trên mặt cầu tâm I bán kính OI → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n=(2;6;3), qua O'(0;0;2) cho 2x+6y+3z-6=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cùng đường thẳng O'B với chỉ phương (3;0;-2) (đổi tham số t→-t).
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường đúng là x/2=y/6=z/3; phương trình đã cho đi qua (-1;-3;0) chứ không qua O.
d) (AI giải đề cho tôi)
I(3/2;1/2;1), OI=IC'=√14/2 nên C' thuộc mặt cầu.