Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;-2;-2)$, vuông góc với mặt phẳng $(Oxz)$ đồng thời khoảng cách từ điểm $B(3;1;-3)$ đến $(P)$ bằng $\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Hãy viết phương trình mặt phẳng $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ vuông góc với $(Oxz)$ nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ có dạng $\vec{n}=(a;0;c)$, tức $(P):ax+cz+d=0$.

Vì $(P)$ đi qua $A(1;-2;-2)$ nên $a-2c+d=0$, suy ra $d=-a+2c$.

Khoảng cách từ $B(3;1;-3)$ đến $(P)$:
$$d(B,(P))=\frac{|3a-3c+d|}{\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{|2a-c|}{\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$

Bình phương hai vế: $5(2a-c{)}^2=9(a^2+c^2)$, suy ra $11a^2-20ac-4c^2=0$. Với $c\ne 0$, đặt $t=\frac{a}{c}$, ta được $11t^2-20t-4=0$ với $\Delta =400+176=576$, nên $t=\frac{20\pm 24}{22}$, tức $t=2$ hoặc $t=-\frac{2}{11}$.

• Với $t=2$: chọn $a=2$, $c=1$, khi đó $d=0$, được $(P):2x+z=0$. Kiểm tra: $(P)$ qua $A$ vì $2(1)+(-2)=0$; $d(B,(P))=\frac{|6-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ đúng.

• Với $t=-\frac{2}{11}$: chọn $a=-2$, $c=11$, khi đó $d=24$, được $(P):-2x+11z+24=0$, tương đương $2x-11z-24=0$. Kiểm tra: $(P)$ qua $A$ vì $-2-22+24=0$; $d(B,(P))=\frac{|-6-33+24|}{\sqrt{125}}=\frac{15}{5\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ đúng.

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: $(P):2x+z=0$ hoặc $(P):2x-11z-24=0$.