Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha )$ qua hai điểm $A(1;2;0)$, $B(4;1;2)$ và cách đều hai điểm $C(-2;1;-1)$, $D(0;-3;1)$ có dạng $ax+by+cz+1=0(a<0)$. Tính $P=a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A(1;2;0)$, $B(4;1;2)$ và cách đều $C(-2;1;-1)$, $D(0;-3;1)$.

Trường hợp 1: $(\alpha )$ song song $CD$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(3;-1;2)$, $\overrightarrow{CD}=(2;-4;2)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(3;-1;-5)$. Mặt phẳng qua $A$: $3(x-1)-(y-2)-5z=0\iff 3x-y-5z-1=0$. Kiểm tra $B$: $12-1-10-1=0$ ✓.

Trường hợp 2: $(\alpha )$ qua trung điểm $M(-1;-1;0)$ của $CD$ cho mặt phẳng $6x-4y-11z+2=0$, khi đưa về dạng hệ số tự do bằng $1$ ta được $a=3>0$, loại do điều kiện $a<0$.

Vậy chọn trường hợp 1, nhân $-1$: $-3x+y+5z+1=0$, tức $a=-3<0$, $b=1$, $c=5$. Kiểm tra khoảng cách: $d(C)=\frac{|6+1-5+1|}{\sqrt{35}}=\frac{3}{\sqrt{35}}$, $d(D)=\frac{|0-3+5+1|}{\sqrt{35}}=\frac{3}{\sqrt{35}}$ ✓.

Do đó $P=a+b+c=-3+1+5=3$.