Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha )$ qua hai điểm $A(1;2;0)$, $B(4;1;2)$ và cách đều hai điểm $C(-2;1;-1)$, $D(0;-3;1)$ có dạng $ax+by+cz+1=0$ $(a<0)$. Tính $P=a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $ax+by+cz+1=0$ qua $A(1;2;0)$, $B(4;1;2)$ nên $a+2b+1=0$ và $4a+b+2c+1=0$, suy ra $a=-1-2b$, $c=\frac{3+7b}{2}$. Cách đều $C(-2;1;-1)$, $D(0;-3;1)$: $|-2a+b-c+1|=|-3b+c+1|$. Trường hợp 1 (biểu thức cùng dấu): $-2a+b-c+1=-3b+c+1\Rightarrow a-2b+c=0$. Thay vào: $-1-2b-2b+\frac{3+7b}{2}=0\Rightarrow \frac{1-b}{2}=0\Rightarrow b=1$, khi đó $a=-3<0$ (thỏa), $c=5$. Kiểm tra: $C$: $6+1-5+1=3$, $D$: $-3+5+1=3$ — cách đều đúng. Trường hợp 2 (trái dấu): $-2a+b-c+1=3b-c-1\Rightarrow -2a-2b+2=0\Rightarrow a+b=1$; thay $a=-1-2b$ được $b=-2$, khi đó $a=3>0$ (loại do $a<0$). Vậy $P=a+b+c=-3+1+5=3$.