Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc $900km/h$ theo đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-300+80t\\ z=100\sqrt{11}\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).

(AI giải đề cho tôi)
Vùng phát hiện tối đa 600 km nên mặt cầu ranh giới tâm O bán kính R=600 km, phương trình x²+y²+z²=360000. a) Sai vì bán kính là 600 km chứ không phải 300 km. b) Đúng. c) Thay M(-500;100;100√11): OM²=250000+10000+110000=360000=R², nên M nằm TRÊN mặt cầu (trong vùng kiểm soát), khẳng định 'nằm ngoài' sai. d) Đường d qua A(-1000;-300;100√11), v=(100;80;0), |v|=20√41. Khoảng cách từ O đến d: d²=OA²−(OA·v)²/|v|²=1200000−124000²/16400≈262439, d≈512,29 km. Độ dài dây cung trong mặt cầu: 2√(R²−d²)=2√(360000−262439)≈624,69 km. Thời gian từ lúc phát hiện (điểm vào) đến khi ra khỏi vùng: 624,69/900≈0,694 giờ ≠ 4/3 giờ (4/3 giờ tương ứng 1200 km bằng đường kính, chỉ đúng nếu bay qua tâm, không phải trường hợp này). Vậy d) Sai. (Kiểm tra bằng tham số: phương trình hoành độ giao điểm 41t²−620t+2100=0 có hai nghiệm t=210/41 và t=10, quãng đường trong vùng = (10−210/41)·20√41=4000/√41≈624,7 km, khớp kết quả.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu ranh giới bằng khoảng cách phát hiện tối đa 600 km, không phải 300 km.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm O bán kính R=600: x²+y²+z²=600²=360000.
c) (AI giải đề cho tôi)
OM²=(-500)²+100²+(100√11)²=250000+10000+110000=360000=R², nên M nằm trên mặt cầu, tức trong (ranh giới) vùng kiểm soát, không nằm ngoài.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(O,d)≈512,29 km; độ dài cung trong vùng 2√(360000−262439)≈624,69 km; thời gian ≈624,69/900≈0,694 giờ, không phải 4/3 giờ.