Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-2y+2z-5=0$. Xét mặt phẳng $(Q):x+(2m-1)z+7=0$, với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
$(P):\overrightarrow{n_1}=(1;-2;2)$, $(Q):\overrightarrow{n_2}=(1;0;2m-1)$.
a) Với $m=\frac{1}{4}$: $\overrightarrow{n_2}=(1;0;-\frac{1}{2})$, $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1+0-1=0\Rightarrow (P)\perp (Q)$. Đúng.
b) $\cos \alpha =\frac{|1+2(2m-1)|}{3\sqrt{1+(2m-1{)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Đặt $t=2m-1$: $2(2t+1{)}^2=9(1+t^2)\Rightarrow t^2-8t+7=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=7$, tức $m=1$ hoặc $m=4$: có 2 giá trị. Sai.
c) $(Q)$ không chứa $y$ nên $\overrightarrow{n_2}$ không thể tỉ lệ với $\overrightarrow{n_1}=(1;-2;2)$, hai mặt không thể trùng. Sai.
d) Nếu $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(Q)$ thì $\overrightarrow{OH}=(2;1;2)$ phải cùng phương với $\overrightarrow{n_2}=(1;0;2m-1)$, nhưng thành phần $y$: $1\ne 0$ — vô lý, không tồn tại $m$. Kể cả chỉ dùng $H\in (Q)$: $2+2(2m-1)+7=0\Rightarrow m=-\frac{7}{4}$, khi đó $\cos \beta =\frac{|1-9|}{3\sqrt{1+\frac{81}{4}}}=\frac{16}{3\sqrt{85}}\approx 0,578\ne \frac{4}{9}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=\frac{1}{4}$, $\overrightarrow{n_2}=(1;0;-\frac{1}{2})$, $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1+0-1=0$ nên $(P)\perp (Q)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ dẫn đến $t^2-8t+7=0$ với $t=2m-1$, có 2 nghiệm $m=1$ và $m=4$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$ không chứa $y$ nên không thể tỉ lệ với $\overrightarrow{n_1}=(1;-2;2)$, hai mặt không thể trùng. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OH}=(2;1;2)$ không thể cùng phương với $\overrightarrow{n_2}=(1;0;2m-1)$ (thành phần $y$), nên không tồn tại $m$; kể cả lấy $m=-\frac{7}{4}$ từ $H\in (Q)$ thì $\cos \beta =\frac{16}{3\sqrt{85}}\ne \frac{4}{9}$. Sai.