Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
d có điểm (1;3;2) và VTCP u=(1;-1;2). a) M(1;3;-2): thay vào d được (x-1)/1=0, (y-3)/(-1)=0 nhưng (z-2)/2=-2, không thỏa → M không thuộc d, sai. b) u(-1;1;2)=-1·(1;-1;2) cùng phương với VTCP của d → đúng. c) Δ có VTCP (1;-1;2) cùng phương với d và điểm (1;3;2) thuộc d nên Δ trùng với d (không song song theo nghĩa chấp nhận được trong đề) → sai. d) d₂ có điểm (0;0;-1), VTCP u₂=(-3;1;-3). Đường đề xuất đi qua P(2;2;4) với VTCP v=(1;-3;-2). Kiểm tra: v·u=1+3-4=0, v·u₂=-3-3+6=0 nên vuông góc cả hai đường. P thuộc d: (2-1)/1=(2-3)/(-1)=(4-2)/2=1. Đường này cắt d₂: giải (2+s;2-3s;4-2s)=(-3t;t;-1-3t) được s=1, t=-1, giao điểm (3;-1;1) thỏa cả ba phương trình. Vậy đường đề xuất chính là đường vuông góc chung → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;3;-2) vào d: (z-2)/2=(-2-2)/2=-2 ≠ 0 nên M không thuộc d.
b) (AI giải đề cho tôi)
(-1;1;2) = -(1;-1;2) cùng phương với VTCP của d.
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ có cùng VTCP và đi qua điểm (1;3;2) thuộc d nên Δ trùng d, không phải song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường (x-2)/1=(y-2)/(-3)=(z-4)/(-2) có VTCP (1;-3;-2) vuông góc với cả u=(1;-1;2) và u₂=(-3;1;-3); đi qua P(2;2;4)∈d và cắt d₂ tại (3;-1;1) (s=1, t=-1). Vậy đúng là đường vuông góc chung.