Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , , và .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , , và .
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Phương trình mặt phẳng là .
b)
Bốn điểm tạo thành tứ diện.
c)
Mặt phẳng chứa và song song với có một vectơ pháp tuyến là .
d)
Có 2 mặt phẳng đi qua 2 điểm sao cho khoảng cách từ và đến mặt phẳng đó bằng nhau. Cả 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm .
Đáp án chính thức: a:Đ,b:Đ,c:S,d:Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
a) AB=(-3;-1;2), AC=(1;-3;0), tích có hướng n=AB×AC=(6;2;10)∼(3;1;5). Mặt phẳng qua A: 3(x-1)+(y-2)+5(z-1)=0 ⇔ 3x+y+5z-10=0. Thử B: -6+1+15-10=0 ✓. Đúng.
b) Thay D(0;3;1): 0+3+5-10=-2≠0 nên D∉(ABC), bốn điểm không đồng phẳng, tạo thành tứ diện. Đúng.
c) VTCP AB=(-3;-1;2), CD=D-C=(-2;4;0). Pháp tuyến cần n⊥AB, n⊥CD: n=AB×CD=(-8;-4;-14)∼(4;2;7). Vectơ (4;-2;7) có (4;-2;7)·CD=-8-8+0=-16≠0 nên không vuông góc với CD. Sai.
d) M(1;2;1) trùng với điểm A, nên mọi mặt phẳng đi qua A, B đều đi qua M. Có đúng 2 mặt phẳng qua AB với d(C)=d(D): (1) mặt phẳng chứa trung điểm CD(1;1;1) — ba điểm A,B,E không thẳng hàng nên tồn tại; (2) mặt phẳng qua AB song song CD (pháp tuyến (4;2;7)). Hai mặt phẳng này phân biệt, đều qua A=M. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n=AB×AC=(6;2;10)∼(3;1;5), phương trình 3x+y+5z-10=0 thỏa A, B, C.
b) (AI giải đề cho tôi)
D không thuộc (ABC) vì 3·0+3+5·1-10=-2≠0, bốn điểm không đồng phẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến đúng là (4;2;7); vectơ (4;-2;7) không vuông góc với CD=(-2;4;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
M(1;2;1)=A nên mọi mặt phẳng qua A,B đều qua M; có 2 mặt phẳng thỏa (chứa trung điểm CD hoặc song song CD).
a) AB=(-3;-1;2), AC=(1;-3;0), tích có hướng n=AB×AC=(6;2;10)∼(3;1;5). Mặt phẳng qua A: 3(x-1)+(y-2)+5(z-1)=0 ⇔ 3x+y+5z-10=0. Thử B: -6+1+15-10=0 ✓. Đúng.
b) Thay D(0;3;1): 0+3+5-10=-2≠0 nên D∉(ABC), bốn điểm không đồng phẳng, tạo thành tứ diện. Đúng.
c) VTCP AB=(-3;-1;2), CD=D-C=(-2;4;0). Pháp tuyến cần n⊥AB, n⊥CD: n=AB×CD=(-8;-4;-14)∼(4;2;7). Vectơ (4;-2;7) có (4;-2;7)·CD=-8-8+0=-16≠0 nên không vuông góc với CD. Sai.
d) M(1;2;1) trùng với điểm A, nên mọi mặt phẳng đi qua A, B đều đi qua M. Có đúng 2 mặt phẳng qua AB với d(C)=d(D): (1) mặt phẳng chứa trung điểm CD(1;1;1) — ba điểm A,B,E không thẳng hàng nên tồn tại; (2) mặt phẳng qua AB song song CD (pháp tuyến (4;2;7)). Hai mặt phẳng này phân biệt, đều qua A=M. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n=AB×AC=(6;2;10)∼(3;1;5), phương trình 3x+y+5z-10=0 thỏa A, B, C.
b) (AI giải đề cho tôi)
D không thuộc (ABC) vì 3·0+3+5·1-10=-2≠0, bốn điểm không đồng phẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến đúng là (4;2;7); vectơ (4;-2;7) không vuông góc với CD=(-2;4;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
M(1;2;1)=A nên mọi mặt phẳng qua A,B đều qua M; có 2 mặt phẳng thỏa (chứa trung điểm CD hoặc song song CD).