Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $(\Delta ):\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):mx-2y+(m-1)z-1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $\Delta$: $\vec{u}=(1;-2;2)$, $|\vec{u}|=3$. VTPT của $(P)$: $\vec{n}=(m;-2;m-1)$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=m+4+2(m-1)=3m+2$, $|\vec{n}|=\sqrt{m^2+4+(m-1{)}^2}=\sqrt{2m^2-2m+5}$.
a) $m=-2$: $\vec{n}=(-2;-2;-3)$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=-2+4-6=-4\ne 0$ nên $\Delta$ không vuông góc $(P)$. Sai.
b) $m=1$: $\vec{n}=(1;-2;0)$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=1+4+0=5\ne 0$ nên $\Delta$ không song song hoặc nằm trên $(P)$. Sai.
c) $m=-1$: $\vec{n}=(-1;-2;-2)$, $|\vec{n}|=3$, $\sin \alpha =\frac{|-1+4-4|}{3\cdot 3}=\frac{1}{9}$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{81}}=\frac{\sqrt{80}}{9}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$. Đúng.
d) $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{2m^2-2m+5}}\Rightarrow 4(3m+2{)}^2=9(2m^2-2m+5)\Rightarrow 18m^2+66m-29=0$ (delta $=66^2+4\cdot 18\cdot 29>0$, hai nghiệm phân biệt). Tổng hai nghiệm $=-\frac{66}{18}=-\frac{11}{3}$, tức $a=-11,b=3$, nên $a+b^2=-11+9=-2$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$m=-2$: $\vec{u}\cdot \vec{n}=-4\ne 0$ nên $\Delta$ không vuông góc $(P)$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$m=1$: $\vec{u}\cdot \vec{n}=5\ne 0$ nên $\Delta$ không song song hoặc nằm trên $(P)$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{1}{9}$ nên $\cos \alpha =\frac{4\sqrt{5}}{9}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{|3m+2|}{3\sqrt{2m^2-2m+5}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 18m^2+66m-29=0$, tổng hai nghiệm $=-\frac{11}{3}$, $a+b^2=-11+9=-2$. Đúng.