Trong không gian $Oxyz$, tam giác $ABC$ với $A\left(1;1;1\right),B\left(1;2;2\right),C\left(4;1;0\right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;1;1)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0;-1)$.

a) Sai. Mặt phẳng $(ABC)$: $x-3y+3z-1=0$. Khoảng cách từ $M(0;0;1)$ đến $(ABC)$: $d=\frac{|0-0+3-1|}{\sqrt{1+9+9}}=\frac{2}{\sqrt{19}}\approx 0,459<\frac{1}{2}$. Vì $MK\ge d$ với mọi $K\in (ABC)$ và giá trị nhỏ nhất $d<\frac{1}{2}$, khẳng định $MK\ge \frac{1}{2}$ sai.

b) Sai. Trọng tâm $G=\left(\frac{1+1+4}{3};\frac{1+2+1}{3};\frac{1+2+0}{3}\right)=(2;\frac{4}{3};1)$. Khi đó $2a+3b+c=4+4+1=9<10$.

c) Sai. $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 1\\ 3& 0& -1\end{array}\right|=(-1;3;-3)\ne (1;-3;3)$.

d) Đúng. VTPT $\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-1;3;-3)$, qua $A(1;1;1)$: $-1(x-1)+3(y-1)-3(z-1)=0\iff x-3y+3z-1=0$. Khớp bảng đáp án mã đề 1201 câu 16: SSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ M(0;0;1) đến (ABC): $d=\frac{2}{\sqrt{19}}\approx 0,459<\frac{1}{2}$ nên tồn tại K với $MK<\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G(2;\frac{4}{3};1)$ nên $2a+3b+c=9<10$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-1;3;-3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua A với VTPT $(-1;3;-3)$: $x-3y+3z-1=0$.