Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(1;0;2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(1;0;0)$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;1)$. Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ $I(1;0;2)$ đến $d$. Ta có $\overrightarrow{PI}=(0;0;2)$, nên $\overrightarrow{PI}\times \vec{u}=(0\cdot 1-2\cdot (-1);2\cdot 2-0\cdot 1;0\cdot (-1)-0\cdot 2)=(2;4;0)$, với $|\overrightarrow{PI}\times \vec{u}|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ và $|\vec{u}|=\sqrt{6}$. Suy ra $R=d(I,d)=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{10}{3}}=\frac{\sqrt{30}}{3}$. Vậy mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(x-1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=\frac{10}{3}$, tức $x^2+y^2+z^2-2x-4z+\frac{4}{3}=0$. Kiểm tra: tâm $(1;0;2)$, bán kính $\sqrt{10/3}$ thỏa mãn.